基本不等式专项练习题高中数学
一、选择题
1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是()
A．x＋12x B．x2－1＋1x2－1
C．2x＋2－x D．x(1－x)
答案：C
2．函数y＝3x2＋6x2＋1的最小值是()
A．32－3 B．－3
C．62 D．62－3
解析：选D.y＝3(x2＋2x2＋1)＝3(x2＋1＋2x2＋1－1)3(22－1)＝62－3.
3．已知m、nR，mn＝100，则m2＋n2的最小值是()
A．200 B．100
C．50 D．20
解析：选A.m2＋n22mn＝200，当且仅当m＝n时等号成立．
4．给出下面四个推导过程：
①∵a，b(0，＋)，ba＋ab2baab＝2；
②∵x，y(0，＋)，lgx＋lgy2lgxlgy；
③∵aR，a0，4a＋a 24aa＝4；
④∵x，yR，，xy＜0，xy＋yx＝－[(－xy)＋(－yx)]－2－xy－yx＝－2.
其中正确的推导过程为()
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．
①∵a，b(0，＋)，ba，ab(0，＋)，符合基本不等式的'条件，故①的推导过程正确；
②虽然x，y(0，＋)，但当x(0,1)时，lgx是负数，y(0,1)时，lgy是负数，②的推导过程是错误的；
③∵aR，不符合基本不等式的条件，
4a＋a24aa＝4是错误的；
④由xy＜0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy＋yx提出负号后，(－xy)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．
5．已知a＞0，b＞0，则1a＋1b＋2ab的最小值是()
A．2 B．22
C．4 D．5
解析：选C.∵1a＋1b＋2ab2ab＋2ab222＝4.当且仅当a＝bab＝1时，等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4.
6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有()
A．最大值64 B．最大值164
C．最小值64 D．最小值164
解析：选C.∵x、y均为正数，
xy＝8x＋2y28x2y＝8xy，
当且仅当8x＝2y时等号成立．
xy64.
二、填空题
7．函数y＝x＋1x＋1(x0)的最小值为________．
答案：1
8．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy有最________值，其值为________．
解析：1＝x＋4y4y＝4xy，xy116.
答案：大 116
9．(2010年高考山东卷)已知x，yR＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________．
解析：∵x＞0，y＞0且1＝x3＋y42xy12，xy3.
当且仅当x3＝y4时取等号．
答案：3
三、解答题
10．(1)设x＞－1，求函数y＝x＋4x＋1＋6的最小值；
(2)求函数y＝x2＋8x－1(x＞1)的最值．
解：(1)∵x＞－1，x＋1＞0.
y＝x＋4x＋1＋6＝x＋1＋4x＋1＋5
2 x＋14x＋1＋5＝9，
当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时，取等号．
x＝1时，函数的最小值是9.
(2)y＝x2＋8x－1＝x2－1＋9x－1＝(x＋1)＋9x－1
＝(x－1)＋9x－1＋2.∵x＞1，x－1＞0.
(x－1)＋9x－1＋22x－19x－1＋2＝8.
当且仅当x－1＝9x－1，即x＝4时等号成立，
y有最小值8.
11．已知a，b，c(0，＋)，且a＋b＋c＝1，求证：(1a－1)(1b－1)(1c－1)8.
证明：∵a，b，c(0，＋)，a＋b＋c＝1，
1a－1＝1－aa＝b＋ca＝ba＋ca2bca，
同理1b－12acb，1c－12abc，
以上三个不等式两边分别相乘得
(1a－1)(1b－1)(1c－1)8.
当且仅当a＝b＝c时取等号．
12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．
问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．
解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米．
总造价f(x)＝400(2x＋2200x)＋100200x＋60200
＝800(x＋225x)＋12000
1600x225x＋12000
＝36000(元)
当且仅当x＝225x(x＞0)，
即x＝15时等号成立．
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