高一数学练习题函数的单调性的概念
1.若函数f(x)在区间[m,n]上是增函数,在区间[n,k]上也是增函数,则函数f(x)在区间(m,k)上( )
A.必是减函数 B.是增函数或减函数
C.必是增函数 D.未必是增函数或减函数
答案：C
解析：任取x1、x2(m,k),且x1
若x1、x2(m,n],则f(x1)
若x1、x2[n,k),则f(x1)
若x1(m,n],x2(n,k),则x1n
f(x1)f(n)
f(x)在(m,k)上必为增函数.
2.函数f(x)=x2+4ax+2在(-,6)内递减,那么实数a的取值范围是( )
A.a3 B.a3 C.a-3 D.a-3
答案：D
解析：∵- =-2a6,a-3.
3.若一次函数y=kx+b(k0)在(-,+)上是单调增函数,那么点(k,b)在直角坐标平面的( )
A.上半平面 B.下半平面
C.左半平面 D.右半平面
答案：D
解析：易知k0,bR,(k,b)在右半平面.
4.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是( )
A.y=-x+1 B.y=
C.y=x2-4x+5 D.y=
答案：B
解析：C中y=(x-2)2+1在(0,2)上为减函数.
5.函数y= 的单调递增区间是___________,单调递减区间是_____________.
答案：[-3,- ] [- ,2]
解析：由-x2-x-60,即x2+x-60,解得-32.
y= 的定义域是[-3,2].
又u=-x2-x+6的对称轴是x=- ,
u在x[-3,- ]上递增,在x[- ,2]上递减.
又y= 在[0,+]上是增函数,y= 的递增区间是[-3,- ],递减区间[- ,2].
6.函数f(x)在定义域[-1,1]上是增函数,且f(x-1)
答案：1
解析：依题意 1
7.定义在R上的函数f(x)满足f(-x)= 0,又g(x)=f(x)+c(c为常数),在[a,b]上是单调递增函数,判断并证明g(x)在[-b,-a]上的.单调性.
解：任取x1、x2[-b,-a]且-bx1
则g(x1)-g(x2)=f(x1)-f(x2)= .
∵g(x)=f(x)+c在[a,b]上是增函数,
f(x)在[a,b]上也是增函数.
又b-x2a,
f(-x1)f(-x2).
又f(-x1),f(-x2)皆大于0,g(x1)-g(x2)0,即g(x1)
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8.设函数f(x)在(-,+)上是减函数,则下列不等式正确的是( )
A.f(2a)
C.f(a2+a)
答案：D
解析：∵a2+1-a=(a- )2+ 0,
a2+1a.函数f(x)在(-,+)上是减函数.
f(a2+1)
9.若f(x)=x2+bx+c,对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么( )
A.f(1)
C.f(2)
答案：C
解析：∵对称轴x=- =2,b=-4.
f(1)=f(3)
10.已知函数f(x)=x3-x在(0,a]上递减,在[a,+)上递增,则a=____________
答案：
解析：设0
f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x12+x1x2+x22-1),
当0f(x2).
同理,可证 x1
11.函数f(x)=|x2-2x-3|的增区间是_________________.
答案：(-1,1),(3,+)
解析：f(x)= 画出图象易知.
12.证明函数f(x)= -x在其定义域内是减函数.
证明:∵函数f(x)的定义域为(-,+),
设x1、x2为区间(-,+)上的任意两个值且x1
f(x2)-f(x1)= - -(x2-x1)= -(x2-x1)
=(x2-x1) =(x2-x1) .
∵x2x1,x2-x10且 + 0.
又∵对任意xR,都有 =|x|x,有 x,即有x- 0.
x1- 0,x2- 0.
f(x2)-f(x1)0,即f(x2)
函数f(x)= -x在其定义域R内单调递减.
13.设函数f(x)对于任意x、yR,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(x)在(-,+)上单调递减,若 f(x2)-f(x) f(bx)-f(b),求x的范围.
解：∵f(x+y)=f(x)+f(y)(x、yR),
2f(x)=f(x)+f(y)=f(2x).
同理,2f(b)=f(2b).
由 f(x2)-f(x) f(bx)-f(b),
得f(x2)+2f(b)f(bx)+2f(x),
即f(x2)+f(2b)f(bx)+f(2x).
即f(x2+2b)f(bx+2x).
又∵f(x)在(-,+)上单调递减,
x2+2b
x2-(b+2)x+2b0.
x2-(b+2)x+2b=(x-2)(x-b)0.
当b2时,得2
当b2时,得b
当b=2时,得x .
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14.设函数f(x)是(-,+)上的减函数,则f(2x-x2)的单调增区间是( )
A.(-,2) B.[-2,+] C.(-,-1] D.[1,+)
答案：D
解析：令t=g(x)=2x-x2=-(x-1)2+1知:当x1时,函数g(x)单调递减;当x1时,函数g(x)单调递增.又因函数f(t)在(-,+)上递减,故f(2x-x2)的单调减区间为(-,1],增区间为[1,+).
15.老师给出一个函数y=f(x),四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质:
甲:对于xR,都有f(1+x)=f(1-x);
乙:在(-,0]上函数递减;
丙:在(0,+)上函数递增;
丁:f(0)不是函数的最小值.
如果其中恰有三人说得正确,请写出一个这样的函数:________________.
答案：f(x)=(x-1)2(不唯一)
解析：f(x)=(x-1)2(答案不唯一,满足其中三个且另一个不满足即可).
f(1+x)=f(1-x)表示对称轴方程为x=1.
16.已知函数f(x)= ,x[1,+).
(1)当a= 时,求函数f(x)的最小值;
(2)若对任意x[1,+),f(x)0恒成立,求实数a的取值范围.
解：(1)当a= 时,f(x)=x+ +2,设1x1
则f(x2)-f(x1)=x2+ -(x1+ )= .
因为1x10,2x1x2-10,2x1x20 f(x2)-f(x1)0,
即f(x)在[1,+]上单调递增,f(x)min=f(1)=1+ +2= .
(2)x[1,+],f(x)0恒成立 x2+2x+a0恒成立,即a-x2-2x恒成立,又y=-x2-2x=
-(x+1)2+1-3,所以a-3.
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