定积分证明题方法总结六篇(5)

　　篇六：定积分计算方法总结

　　摘要:结合实例分析介绍了不定积分的四种基本计算方法。为使学生熟练掌握,灵活运用积分方法,本文将高等数学中计算不定积分的常用方法,简单进行了整理归类。

　　关键词:积分方法  第一类换元法第二类换元法  分部积分法 不定积分是高等数学中积分学的基础,对不定积分的理解与掌握的好坏直接影响到该课程的学习和掌握。熟练掌握不定积分的理论与运算方法,不但能使学生进一步巩固前面所学的导数与微分的知识,而且也将为学习定积分,微分方程等相关知识打好基础。在高等数学中,函数的概念与定义与初等数学相比发生了很多的变化,从有限到无限,从确定到不确定,计算结果也可能不唯一,但计算方法与计算技巧显得更加重要。这些都在不定积分的计算中体会的淋漓尽致。对不定积分的求解方法进行简单的归类,不但使其计算方法条理清楚,而且有助于对不定积分概念的理解,提高学习兴趣,对学好积分具有一定的促进作用。

1 直接积分法

　　直接积分法就是利用不定积分的定义,公式与积分基本性质求不定积分的方法。直接积分法重要的是把被积函数通过代数或三角恒等式变形,变为积分表中能直接计算的公式,利用积分运算法则,在逐项积分。

一、原函数与不定积分的概念

　　定义1.设f(x)是定义在某区间的已知函数，若存在函数F(x)，使得F(x)或dF

　　f(x)

　　(x)f(x)dx

　　,则称F(x)为f(x)的一个原函数

　　定义2.函数

　　f(x)的全体原函数F(x)C叫做f(x)的不定积分，，记为:

　　f(x)dxF(x)C

　　f(x)叫做被积函数  f(x)dx叫做被积表达式C叫做积分常数

　　“

　　其中

　　”叫做积分号

二、不定积分的性质和基本积分公式

　　性质1. 不定积分的导数等于被积函数，不定积分的微分等于被积表达式，即

　　f(x)dxf(x)；df(x)dxf(x)dx.

　　性质2. 函数的导数或微分的不定积分等于该函数加上一个任意函数，即

　　f(x)dxf(x)C,

　　或df(x)f(x)C

　　性质3. 非零的常数因子可以由积分号内提出来，即

　　kf(x)dxkf(x)dx

　　(k0).

　　性质4. 两个函数的代数和的不定积分等于每个函数不定积分的代数和，即

　　f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx

　　基本积分公式

　　(1)kdxkxC(k为常数)

　　(2)xdx

　　1

　　1

　　x

　　1

　　C

　　(1)

　　1

　　(3)xlnxC

　　x

　　(4)exdxexC

　　(6)cosxdxsinxC (8)sec2xdxtanxC (10)secxtanxdxsecxC (12)secxdxlnsecxtanxC (14)(16)

　　11x

　　11x

　　2

　　(5)a

　　x

　　dx

　　a

　　x

　　lna

　　C

　　(7)sinxdxcosxC (9)csc2xdxcotxC

　　(11)

　　cscxcotxdxcscxC

　　(13)cscxdxlncscxcotxC (15)

　　1x

　　2

　　2

　　xarctanxC

　　xarcsinxC

　　xarcsinxC

三、换元积分法和分部积分法

　　定理1. 设(x)可导，并且f(u)duF(u)C. 则有

　　f[(x)](x)dxF(u)C

　　凑微分

　　f[(x)]d(x)

　　令u(x)

　　f(u)du

　　代回u(x)

　　F((x))C

　　该方法叫第一换元积分法(integration by substitution)，也称凑微分法． 定理2.设x数F

　　(t)是可微函数且(t)0，若f((t))(t)具有原函

　　(t)，则

　　xt换元

　　fxdx

　　fttdt

　　积分

　　FtC

　　t

　　1

　　x

　　回代

　　1

　　FxC.

　　该方法叫第二换元积分法