定积分证明题方法总结六篇(4)

　　篇五：定积分计算方法总结

　　一、原函数

　　定义1  如果对任一xI，都有

　　F(x)f(x) 或 dF(x)f(x)dx

　　则称F(x)为f(x)在区间I 上的原函数。

　　例如：(sinx)cosx，即sinx是cosx的原函数。 [ln(xx2)

　　原函数存在定理：如果函数f(x)在区间I 上连续，则f(x)在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数F(x)，使得对任一xI，有F(x)f(x)。

　　注1：如果f(x)有一个原函数，则f(x)就有无穷多个原函数。

　　设F(x)是f(x)的原函数，则[F(x)C]f(x)，即F(x)C也为f(x)的原函数，其中C为任意常数。

　　注2：如果F(x)与G(x)都为f(x)在区间I 上的原函数，则F(x)与G(x)之差为常数，即F(x)G(x)C（C为常数）

　　注3：如果F(x)为f(x)在区间I 上的一个原函数，则F(x)C（C为任意常数）可表达f(x)的任意一个原函数。

　　1x2，即ln(xx2)是1x2的原函数。

二、不定积分

　　定义2  在区间I上，f(x)的带有任意常数项的原函数，成为f(x)在区间I上的不定积分，记为f(x)dx。

　　如果F(x)为f(x)的一个原函数，则

　　f(x)dxF(x)C，（C为任意常数）

三、不定积分的几何意义

　　图 5—1 设F(x)是f(x)的一个原函数，则yF(x)在平面上表示一条曲线，称它为f(x)f(x)的不定积分表示一族积分曲线，它们是由f(x)的某一条积分曲线沿着y轴方向作任意平行移动而产生的所有积分曲线组成的．显然，族中的每一条积分曲线在具有同一横坐标x的点处有互相平行的切线，其斜率都等于f(x)．

　　在求原函数的具体问题中，往往先求出原函数的一般表达式yF(x)C，再从中确定一个满足条件 y(x0)y0 (称为初始条件)的原函数yy(x)．从几何上讲，就是从积分曲线族中找出一条通过点(x0,y0)的积分曲线．

四、不定积分的性质（线性性质）

　　[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx

　　k为非零常数） kf(x)dxkf(x)dx（

五、基本积分表

　　∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

　　∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1 ∫ 1/x dx = ln|x| + C

　　∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

　　∫ e^x dx = e^x + C

　　∫ cosx dx = sinx + C

　　∫ sinx dx = - cosx + C

　　∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

　　∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C

　　∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C

　　= (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C

　　= - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C

　　∫ cscx dx = ln|tan(x/2)| + C

　　= (1/2)ln|(1 - cosx)/(1 + cosx)| + C

　　= - ln|cscx + cotx| + C = ln|cscx - cotx| + C

　　∫ sec^2(x) dx = tanx + C

　　∫ csc^2(x) dx = - cotx + C

　　∫ secxtanx dx = secx + C

　　∫ cscxcotx dx = - cscx + C

　　∫ dx/(a^2 + x^2) = (1/a)arctan(x/a) + C

　　∫ dx/√(a^2 - x^2) = arcsin(x/a) + C

　　∫ dx/√(x^2 + a^2) = ln|x + √(x^2 + a^2)| + C

　　∫ dx/√(x^2 - a^2) = ln|x + √(x^2 - a^2)| + C

　　∫ √(x^2 - a^2) dx = (x/2)√(x^2 - a^2) - (a^2/2)ln|x + √(x^2 - a^2)| + C ∫ √(x^2 + a^2) dx = (x/2)√(x^2 + a^2) + (a^2/2)ln|x + √(x^2 + a^2)| + C ∫ √(a^2 - x^2) dx = (x/2)√(a^2 - x^2) + (a^2/2)arcsin(x/a) + C

六、第一换元法（凑微分）

　　设F(u)为f(u)的原函数，即F(u)f(u) 或 f(u)duF(u)C 如果 u(x)，且(x)可微，则  dF[(x)]F(u)(x)f(u)(x)f[(x)](x) dx

　　即F[(x)]为f[(x)](x)的原函数，或

　　f[(x)](x)dxF[(x)]C[F(u)C]u(x)[f(u)du]因此有

　　定理1  设F(u)为f(u)的原函数，u(x)可微，则

　　f[(x)](x)dx[f(u)du]

　　公式(2-1)称为第一类换元积分公式。 u(x)u(x)  (2-1)

　　f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)[f(u)du]u(x)

　　1f(axb)d(axb)1[f(u)du]f(axb)dxuaxb