中小学数学知识结构探究论文

中小学数学知识结构探究论文

　　新课标认为，数学知识包含客观的数学事实和以之为载体的主观活动经验、思想方法和应用技能[1]。数学知识并非是现实的拷贝，而是对现实（包括人类己有知识）的逻辑建构，且往往都是看不见的。结构决定功能，因此，我们有必要考察数学知识的结构形式。

　　结构是“系统诸要素相对稳定的联系方式”。数学知识的结构就是数学知识体系中各知识点的一种相对稳定的联系形式。一个抽象的集合只不过是一组元素而己，无所谓结构，一但引入了一种联系方式，就形成了一种结构。例如，实数集引入通常加法就形成了基本的代数结构一群。知识本身具有复杂的结构形态，同时在结构中显现其特性。一方面，数学知识的结构，不是各组成部分的简单排列和组合，而是受一整套内在规律支配，各部分以不可分割，不可简化，互为补充的方式运作。这套规律超越并支配着知识结构的每一种表现形式，决定了结构的性质和功能，任何部分的意义由它和既定情景中其他部分之间的关系确定。例如，正数、负数和零组成实数域结构，它受到有序性、完备性的支配，独立存在的一个实数没有任何实际意义。另一方面，假如离开了知识的各种表现结构，知识便失去了自己存在的意义。人类对客观世界的认识经历了千百万年，历代数学家积累下来的数学知识浩如烟海。以数学知识的组织方式为逻辑范畴，可将数学知识结构分为四种类型：逻辑结构、认知结构、教材结构和教学结构。下面分别阐述其对中小学数学教育的作用。

1逻辑结构是数学知识系统的基础

　　逻辑推断是贯穿数学知识的主线。由公理出发并严格按逻辑规律构造的知识结构就是逻辑结构。数学知识的逻辑结构是非线性的树状结构，它的根在不停地向下延伸，它的枝叶在不停地向上生长，今天己成为一棵枝繁叶茂根深的参天大树。

　　数学知识的逻辑结构以《几何原本》为典范。公理化方法加强了似乎彼此相距很远的那些数学领域之间的联系，把某一领域得出的方法（结论）应用于与之同构的其他领域，从而获得一系列重要成果。这种结构方法从个别推出一般，是非常经济的思维。公理化思想方法不仅渗透到数学的每一个分支，而且影响到其余科学领域，它避免了“无限向前推”的情况，把人们的目光引到向后推一今后的发展上，类似数学这样建立起的知识体系才是科学。按解释法，几何公理体系和实数公理体系的无矛盾性都可归结为自然数算法的无矛盾性，但自然数算法的无矛盾性不可能用它自己内部形成的方法来证明，因此，数学中的公理化方法有一定的界限，数学知识的逻辑真实性也有一定的界限。于是，公理化方法在中学数学教学中的地位被逐渐削弱了，旨在让学生体会公理化思想的过程。

　　传统认为“‘数学是研宄数量关系和空间形式的科学”在现代数学中“数”和“形”需要在更加广阔的意义下去理解！布尔巴基学派认为，数学是研宄形式结构的科学，数学各分支应能按结构性质来归类和统一，具体地说就是，利用形式公理化方法抽象出各数学分支的各种结构，找出各分支之间的结构差异，从而获得各分支之间内在关系的清晰图象。即用结构的观点来看待数学全局的每个分支。今天的数学己不再是彼此分开的章节所集合起来的一堆东西，而是一个巨大的相互联系的结构体系。这些结构原来都是从三种“母结构”一代数结构、序结构、拓扑结构一脱胎出来的。由此可以形成各种子结构和多重结构。例如，实数域同为上述三种结构的多重结构。

2认知结构是学生学习的出发点和归宿

　　所谓“认知结构”是指学科知识的实质性内容在学习者头脑中的组织结构。这种知识结构是由学科知识的基本概念、原理、过程、思想方法以及它们之间的关系组成。数学学习是数学认知结构的组织（同化）和重新组织（顺应）并形成新结构的过程，即是一个“再创造”过程。任何一门学科知识的学习就是在学生的头脑中形成一定的知识结构。良好的认知结构不是知识点的简单堆积，而是经个体理解并重新组织过的、稳定的、可利用的统一体。

　　儿童在入学之前很久，就因社会环境的作用而学会了数数，从而可以学会一些经验性知识与准则。皮亚杰以他的朋友作为结构主义的范例：有一位数学家小时候对数学第一次发生兴趣是因为一次偶然的游戏，他把一堆石子排成一行，发现无论从那端开始去数石子，石子总数都是一样的。次序不在石子之中，正是他自己把石子排成一条线。总数不在石子之中，也正是他自己把它们合并在一起。石子总数表现了这一堆石子之间的数量关系。在这个例子中包含了数学事实、数学活动经验、思想等。次序、总数等就其本身而言是没有意义的，它的意义事实上由它和游戏中的其他因素所决定的。总之，任何数学事实或经验的意义除非它被结合到结构（它是其中的组成部分）中去，否则便不能被人们感觉到。儿童在生活中下意识的排序、分类和玩几何模型玩具等，是在为知识的形成提供理想的基础，其可能就在构筑日后出现的集合论！学龄前儿童在十分狭窄的范围内意识到或认识到数量、序列与拓扑。因此，我们必须让儿童积极构筑个人技能与算术概念及逻辑概念的基础，儿童今后的全部数学知识结构都将以此为基础。

　　儿童在学校中主动地建构认知结构，数学教学应易于学生根据特定目标生成新的知识结构。如学习负数时，由生活中的收支盈亏问题引入，揭示盈亏的内在联系，理解引入负数的必然性,从而建构新的认知结构,同时也是对原认知结构的进一步认识和理解，并得到重组。如图1表示学生在学习过程中认知结构形成的一般过程：学习者首先下意识地将新知识纳入原有认知结构--同化新知识，使认知结构的数量得到扩充，当原有认知结构不能同化新知识时，则必须改造或创建新的认知结构，才能和新知识相适应一顺应，才能维持生物演化的平衡机制。

3教材结构体现了一定的社会价值标准

　　教材结构是指教材要素体系的框架结构。它反映了学习者认识客体的活动及进程。一般认为数学教材要素是知识点，而知识点由知识与技能（含事实、概念、原理、公式），过程与方法，情感、态度与价值观三大部分组成。数学教材中，由知识点构成知识树、知识网、知识块和螺旋体等结构，并以有利于学生建构稳定的、可辨的和可利用的认知结构为首要标准。编写教材不但要注重数学知识之间的逻辑关系，还应考虑表现数学知识的符号与客观事物的联系，以及与人的关系，从而实现教材对学生的教养、教育和发展功能。因此,教材结构当以一定的社会价值标准为基础,提出某些标准作为教材建设的理论前提，使之成为编写教材的依据，并研宄如何才能符合这些标准。用发展的眼光来看，中小学学生应学习将来最有价值的数学，教材就要回答“应该学什么”的问题。由于社会的多元化，教材也具有社会多元化特点，教材的典型代表教科书也应是多样化的。

　　数学教材只是数学知识这座冰山露出水面的冰峰的一角，其显著特点是不追求数学科学本身的完备性和覆盖面，不要求公理体系的独立性，此时，扩大了公理的数量，也不太要求严格的论证，这一点与数学史不谋而合。旦是，精确的定义、严密的演绎展开、几乎没有多余的文字叙述，用人为编造的内容情节来呈现知识，还是让学生难于理解“淡化形式，注重实质”己经成为共识，力求把干巴巴的、符号化的学术形式演绎体系，转化为生动活泼、有血有肉的教育数学形态，就是为了便于学生学习。新一轮基础教育课程改革理念指导下所开发的教材，重心己从教师如何教，转移到学生如何使用教材上，寻求学生心理发展与数学本身发展逻辑的整合，赋予教材中数学知识更多的社会价值观，最终使学生明白学习数学的意义何在，价值在哪儿。