平面向量的数量积的物理背景及其含义教学反思

　　1.1 教材的地位与作用

　　本节课是在学生学习了向量的概念和向量的加法、减法、数乘向量等线性运算的基础上，探索向量的又一种新的运算，它既是前面所学知识和方法的延续，又是后继学习解三角形、解析几何以及空间向量等内容的基础，因此本节内容具有承上启下的重要作用.1.2 学情分析

　　（1）学生已经学习了任意角的三角函数、向量的概念和线性运算等知识.

　　（2）学生对向量的物理背景有了一定的了解.如：力、位移、速度的合成与分解，力做功的有关知识.

　　（3）学生已经具备了一定的数学建模能力，能从简单的物理背景及生活背景抽象出数学概念.

　　2 教学目标分析

　　依据课程标准和以上分析，制定本节课的三维目标如下：

　　知识与技能目标

　　通过物理中“功”的实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义，掌握平面向量数量积的性质.

　　过程与方法目标

　　经历从物理背景的分析，抽象概括出概念的过程，培养学生归纳概括，类比迁移的能力；经历通过不同的方式探究、发现平面向量数量积性质的过程，体会从特殊到一般、分类讨论、数形结合的数学思想方法.

　　情感、态度、价值观目标

　　通过师生互动，生生互动的教学活动过程，形成学生的体验性认识，体会各学科之间的密切联系，感受知识的形成过程，提高数学学习的兴趣，形成独立自主的钻研精神和合作交流的科学态度.

　　3 重点、难点分析

　　根据教学目标以及学情分析，确定本节课的教学重点、难点.

　　重点：平面向量数量积的概念和性质.

　　难点：向量在轴上的正射影的概念的理解和平面向量数量积的性质的发现.

　　在教学中，注意遵循学生的认知规律.从学生感兴趣的物理实例入手，通过层层分析， 形成数量积的概念，并经历概念辨析、深化理解、学以致用等过程，来突出重点.通过练习和探究问题的设计，将五个性质分散开来，通过课件动画、问题引领、自主探究、合作交流等手段，从理性认识到实践练习，再到应用，使性质自然呈现，既突出了重点，又突破了难点.

　　4 教学策略分析

　　基于数量积的知识特点及学生的认知规律，采用启发式和问题探究相结合的教学方法.著名数学教育家波利亚指出：“学习任何东西，最好的途径是自己去发现”.因此，指导学生采用发现式学习法.在课堂上坚持以教师为主导，学生为主体，以抽象类比与问题探究为主线.同时，为了有效实现教学目标，采用多媒体和自编学案辅助教学.

　　5 教学过程分析

　　本节课的教学流程如下：

　　具体分析如下：

　　5.1 创设情境 展示背景

　　教师录像展示“大力士拉车”的情境实例，提出物理问题.

　　问题1 大力士拉车，沿着绳子方向上的力为F，车移动的位移是s，力和位移的夹角为θ，大力士所做的功为多少？

　　设计意图 从学生已有的认知水平出发，通过熟悉的生活实例，创设数量积的物理背景，激发学生的学习热情.

　　5.2 分析背景 形成概念

　　该环节，依据本套教材的特点，以物理背景作为总的抓手，通过抽象、概括、归纳，形成了两个向量的夹角、向量在轴上的正射影和向量的数量积定义三个概念.

　　第一步：背景的初次分析

　　问题2 决定功的大小的量有哪几个？它们是标量还是矢量？当力和位移的大小一定时，功的大小取决于那个量？

　　问题3 这个夹角抽象到我们数学中，就是今天我们要学习的两个向量的夹角，把力F、位移s换作数学中任意两个非零向量a与b，你能尝试着给出向量a与b夹角的概念吗？

　　设计意图 通过力做功的几个因素的分析，突出夹角在做功中的作用，形成两个向量夹角的概念.

　　1.两个向量的夹角

　　已知非零向量a与b，作OA=a，OB=b，则∠AOB称作向量a与b的夹角，记作：〈a，b〉.

　　问题4 下面几种情形中（锐角、钝角、直角、共线同向、共线反向），两向量的夹角分别是什么角？

　　设计意图 通过几种类型的夹角的给出，让学生直观感知夹角的范围，帮助学生理解夹角范围规定的合理性.

　　规定： 0≤〈a，b〉≤π，且〈a，b〉=〈b，a〉.

　　特别的：当〈a，b〉=π2时，叫做a与b垂直，记作a⊥b；

　　两向量的垂直符号同几何中的垂直符号是一致的.

　　问题5 请回顾：0的方向是怎样规定的？

　　规定：0与任意向量垂直.

　　前面曾规定：0与任意向量平行.

　　设计意图 概念呈现后，注意与前面所学知识进行对比，便于学生理解，记忆.图1

　　练习： 如图1，正△ABC中，求

　　（1）AC与AB的夹角；

　　（2）AB与BC的夹角.

　　注：确定两向量的夹角的关键是：通过平移使两向量共起点.

　　设计意图 及时巩固所学概念，强调确定两向量夹角的一般方法.

　　第二步：背景的再次分析

　　问题6 真正使汽车前进的力是什么？它的大小是多少？

　　设计意图 让学生借助已有的认知经验，类比物理背景中拉力F在位移方向上的分力，它的大小是Fcos θ，自然引出向量在轴上的正射影及其数量的概念.从特殊到一般，符合学生的认知规律，突破难点.

　　2.向量在轴上的正射影

　　已知向量a和轴l，作OA=a，过点O、A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1、A1，则向量O1A1叫做向量a在轴l上的正射影（简称射影）.

　　向量在轴上的正射影的数量

　　该射影在轴l上的坐标， 称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量. OA=a在轴l上正射影的坐标记作： al，若向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则al=|a|cos θ.

　　问题7 向量在轴上的正射影与向量在轴上的正射影的数量有什么区别？

　　问题8 向量在轴上的正射影的数量一定是正实数吗？

　　注： a在轴l上的正射影的数量是个实数，可正、可负、可为零.

　　向量a在b方向上的正射影及数量

　　如果向量b在轴l上且与轴同向，那么，向量O1A1叫做向量a在向量b方向上的正射影，它的数量是acos.

　　设计意图 让学生理解正射影及其数量的含义，并引申出向量a在向量b方向上的正射影及其数量，为数量积的概念的学习做准备