数学故事问题

　　这是一帮亡命之徒，在海上抢人钱财，夺人性命，干的是刀头上舔血的营生。在我们的印象中，他们一般都瞎一只眼，用条黑布或者讲究点的用个黑皮眼罩把坏眼遮上。他们还有在地下埋宝的好习惯，而且总要画上一张藏宝图，以方便后人掘取。不过大家是否知道，他们是世界上最民主的团体。参加海盗的都是桀骜不驯的汉子，是不愿听人命令的，船上平时一切事都由投票解决。船长的唯一特权，是有自己的一套餐具——可是在他不用时，其他海盗是可以借来用的。船上的唯一惩罚，就是被丢到海里去喂鱼。

　　现在船上有若干个海盗，要分抢来的若干枚金币。自然，这样的问题他们是由投票来解决的。投票的规则如下：先由最凶猛的海盗来提出分配方案，然后大家一人一票表决，如果有50%或以上的海盗同意这个方案，那么就以此方案分配，如果少于50%的海盗同意，那么这个提出方案的海盗就将被丢到海里去喂鱼，然后由剩下的海盗中最凶猛的那个海盗提出方案，依此类推。

　　我们先要对海盗们作一些假设。

　　1)每个海盗的凶猛性都不同，而且所有海盗都知道别人的凶猛性，也就是说，每个海盗都知道自己和别人在这个提出方案的序列中的位置。另外，每个海盗的数学和逻辑都很好，而且很理智。最后，海盗间私底下的交易是不存在的，因为海盗除了自己谁都不相信。

　　2)一枚金币是不能被分割的，不可以你半枚我半枚。

　　3)每个海盗当然不愿意自己被丢到海里去喂鱼，这是最重要的。

　　4)每个海盗当然希望自己能得到尽可能多的金币。

　　5)每个海盗都是现实主义者，如果在一个方案中他得到了1枚金币，而下一个方案中，他有两种可能，一种得到许多金币，一种得不到金币，他会同意目前这个方案，而不会有侥幸心理。总而言之，他们相信二鸟在林，不如一鸟在手。

　　6)最后，每个海盗都很喜欢其他海盗被丢到海里去喂鱼。在不损害自己利益的前提下，他会尽可能投票让自己的同伴喂鱼。

　　现在，如果有10个海盗要分100枚金币，将会怎样？

　　要解决这类问题，我们总是从最后的情形向后推，这样我们就知道在最后这一步中什么是好的和坏的决定。然后运用这个知识，我们就可以得到最后第二步应该作怎样的决定，等等等等。要是直接就从开始入手解决问题，我们就很容易被这样的问题挡住去路：“要是我作这样的决定，下面一个海盗会怎么做？”以这个思路，先考虑只有2个海盗的情况（所有其他的海盗都已经被丢到海里去喂鱼了）。记他们为p1和p2，其中p2比较凶猛。p2的最佳方案当然是：他自己得100枚金币，p1得0枚。投票时他自己的一票就足够50%了。往前推一步。现在加一个更凶猛的海盗p3。p1知道——p3知道他知道——如果p3的方案被否决了，游戏就会只由p1和p2来继续，而p1就一枚金币也得不到。所以p3知道，只要给p1一点点甜头，p1就会同意他的方案（当然，如果不给p1一点甜头，反正什么也得不到，p1宁可投票让p3去喂鱼）。所以p3的最佳方案是：p1得1枚，p2什么也得不到，p3得99枚。

　　p4的情况差不多。他只要得两票就可以了，给p2一枚金币就可以让他投票赞同这个方案，因为在接下来p3的方案中p2什么也得不到。p5也是相同的推理方法只不过他要说服他的两个同伴，于是他给每一个在p4方案中什么也得不到的p1和p3一枚金币，自己留下98枚。

　　依此类推，p10的最佳方案是：他自己得96枚，给每一个在p9方案中什么也得不到的p2，p4，p6和p8一枚金币。

　　下面是以上推理的一个表（y表示同意，n表示反对）：

　　现在我们将海盗分金问题推广：

　　1)改变一下规则，投票中方案必须得到超过50%的票数（只得到50%票数的方案的提出者也会被丢到海里去喂鱼），那么如何解决10个海盗分100枚金币的问题？

　　2)不改变规则，如果让500个海盗分100枚金币，会发生什么？

　　3)如果每个海盗都有1枚金币的储蓄，他可以把这枚金币用在分配方案中，如果他被丢到海里去喂鱼，那么他的储蓄将被并在要分配的金币堆中，这时候又怎样？

　　通过对规则的细小改变，海盗分金问题可以有许多变化，但是最有趣的大概是1)和2)（规则仍为50%票数即可）的情况，本帖只对这两种情况进行讨论。

　　首先考虑1)。现在只有p1和p2的情形变得对p2其糟无比：1票是不够的，可是就算他把100枚金币都给p1，p1也照样会把他丢到海里去。可是p2很关键，因为如果p3进行分配方案的话，即使他一枚金币也不给p2，p2也会同意，这样一来p3就有p2这张铁票！p3的最佳方案就是：独吞100枚金币。