恒成立与存在性问题方法总结

　　高三数学复习中的恒成立与存在性问题，涉及一次函数、二次函数等函数的性质、图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养学生思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，因此也成为历年高考的一个热点，恒成立与存在性问题的处理途径有多种，下面是小编整理的恒成立与存在性问题方法总结，欢迎来参考！

　　 一、构建函数

　　构建适当的函数，将恒成立问题转化为能利用函数的性质来解决的问题。

　　1、构建一次函数

　　众所周知，一次函数的图像是一条直线，要使一次函数在某一区间内恒大于（或小于）零，只需一次函数在某区间内的两个端点处恒大于（或小于）零即可。

　　例1：若x∈（-2，2），不等式kx+3k+1＞0恒成立，求实数k的取值范围。

　　解：构建函数f（x）= kx+3k+1，则原问题转化为f（x）在x∈（-2，2）内恒为正。若k=0，则f（x）=1＞0恒成立；若k≠0，则f（x）为一次函数，问题等价于f（-2）＞0，f（2）＞0，

　　解之得k∈（- ，+∞）。

　　例2：对m≤2的一切实数m，求使不等式2x-1＞m（x -1）都成立的x的取值范围。

　　解：原问题等价于不等式：（x -1）m-（2x-1）＜0，设f（m）=（x -1）m-（2x-1），则原问题转化为求一次函数f（m）或常数函数在［-2，2］内恒为负值时x的取值范围。

　　（1）当x -1=0时，x=±1。

　　当x=1时，f（m）＜0恒成立；当x=-1时，f（m）＜0不成立。

　　（2） 当x -1≠0时，由一次函数的单调性知：f（m）＜0等价于f（-2）＜0，且f（2）＜0，即＜x＜ ；综上，所求的x∈（  ）。

　　2、构建二次函数