数学分析教学改革谈论文

　　如何不断深入地进行教学改革,努力提高教学质量是摆在我们面前的重大课题。为此，我们对照中外数学分析(微积分）教学改革的现状，结合我院的实际情况深入探讨，以吸取新的经验,从而进一步改善我们的教学,提高教学质量，培育高素质人才。

1我国近年来数学分析教学改革状况

　　70年代末，我国数学界迎来了科学的春天。改革开放以后，人们对国际数学研宄的学术动向有了新的了解与认识,看到了我国数学落后的现状，看到了我国数学教育与欧美等国的差异，开始了对我国数学教育的反思。这时，整个数学界比过去更加关注数学教育的改革。

　　在改革开放初期,数学界对数学教育和数学分析有许多的议论。这些议论归纳起来有两点:一是课程设置与学时问题，反映分析类课程（包括实变函数、复变函数、常微分方程、偏微分方程、泛函分析等）太多，而且基础课程中数学分析的课时太多。相比而言,几何类、代数类的课程过少，学生在代数、几何方面的修养较差，应当有所增加。后来大多数学校数学系的数学分析课由4个学期减为3个学期。其二，对数学分析课程内容本身有较广泛的批评，主要来自“外部”（即非数学分析教师），来自当时的一些老数学家。批评重点是两条：⑴内容太多，过深、过难，过于形式化；⑵“大头分析”，即本末倒置、难易倒置。后者主要指，传统的讲法，初学者在一开始就面临着一大堆抽象艰深的讨论：“戴德金分割法”、“e-5”、“实数完备性的8大定理”、“一致连续性”等，一般要花上12周或13周时间，而学生不知道所为何来，这种教学体系远离了微积分的主题和基本精神，而在实数与极限上大做文章，形成本末倒置,使数学分析像一个身子瘦小，而头很大的“大头娃娃”。

　　这样，在反思与批评中，数学分析课程开始了挣脱旧传统框架的改革之途。

　　这些年来，数学分析教材改革的努力和讨论，主要集中在以下几个问题上：

　　11淡化“实数理论”。有的教材放弃了用戴德金分割法定义实数的方法，而以十进制小数来表示实数，并在此基础上说明或证明了单调有界的序列有极限的定理。其它有关实数的定理则由此推出，对于实数的运算则不加定义。

　　有的教材则干脆不讨论什么是实数，对实数不加定义,而引出实数所应满足的一系列公理，作为今后讨论的平台。当然，对此也有不同的声音与做法。有人认为“数学专业的学生不应该不知道戴德金分割”,有的教材不仅讲实数，还添加了新的内容（度量空间、可数、实数的不可数性等)。

　　12“e-5”训练的问题。所有目前出版的数学分析教材毫无例外地都坚持使用了“e-5”语言来陈述极限，大多数人不赞成取消或不使用“e-5”的作法，大家认为作为数学专业的学生,熟练掌握它依然是必要的。

　　大多数教师已经认识到对于“e-5”的训练应有一个过程,不宜一开始要求过高，也不宜在开始时做过多专门训练的题目，而是应该让学生随着教学不断地使用它，而逐步熟悉、逐步达到熟练应用它。

　　13分散处理有关实数与连续函数性质的讨论。很多教材已经注意到大头极限的问题,大家采取了不同方式来着手解决它。比如,有的教材把这些定理只列出，暂时不加证明，留到以后第3学期再讲证明；有的教材则把有关实数完备性的7个（或8个）定理不集中在一开头讲述，而是把它们打散到各个适当的地方再讲;有的教材把一致连续的概念与闭区间上连续函数一致连续性与其它连续函数的其它性质分开，单独出来，放在讨论函数的黎曼可积的讨论之前讲。这些安排不仅分散了难点，同时也有利于学生更清楚地看清实数的有关定理以及连续函数性质的意义。

　　14关于内容现代化问题。在近年来的教材中，有的做了如下尝试:有的教材在多元微积分中讲述了外微分形式（不借助于外代数），并给出了一般形式的斯托克斯公式，以统一解释场论中各个积分公式；有的教材引入了现代数学的一些概念、术语和词汇，如引入了勒贝格测度和勒贝格积分等。对此看法不一,有一些争议。

　　15理论联系实际的问题。由于外国教材的传入，受其影响，人们更加重视微积分的应用，并努力在教材或习题中举出一些较为生动的例子或题目，以便使读者明了微积分的价值。有的教材把利用微积分从开普勒（IKej-ler)定律导出万有引力公式,作为应用写进课文。

　　16改变单一的教学方式，调动学生学习积极性，培养学生的独立阅读、独立思考和善于表达的能力。改革开放以来，单一的教学方式有所改变，以此来调动学生在教学过程中的主动性。有的学校的数学系，已多年在低年级(一年级下）开办“讨论班”或“读书班”,学生自愿,教师指导，不记学分。这是调动学生学习积极性的好途径，效果显著。

2美国近几年微积分教学改革状况

　　在美国微积分是最大的一门课。美国共有5785所大学，总计1600万学生，在这些学生当中，每年约有50万人在他们上大学的第一学年要学习微积分，其中40万人是来自四年制的大学，10万人来自两年制的大学。此外，每年还有25万高中生学习大学的微积分课程。数学、自然科学、工程、医学和生物学等学科的学生都要学习微积分。对于商学院和经济系的学生而言，微积分是必修课。另外文科学生中的一部分，如心理学、社会学、人类学等学科的学生也要学习一年左右的微积分。其它如音乐、英语和法律的学生，虽然没有强调必须修读微积分,但仍有不少人自愿选修这门课程。

　　如此多的'学生学习微积分的一个重要原因是微积分能教会学生如何解决问题。在微积分教材中有很多习题，学生必须根据他们所学的知识进行解答。对很多学生来说,微积分可能是他们学过的惟一一门教他们如何进行逻辑思维的课程。尽管有的人可能在工作以后再也用不到微积分，但他们仍能从解答习题中获益。加州大学经济系主任曾经说他们在录取研宄生的时候，衡量学生是否适合研读经济学博士，以及将来的发展如何的惟一依据就是他们的微积分成绩。也就是说,从学生在微积分这门课上的表现可以预测他们继续深造经济学的潜力。

　　在美国讲授微积分的方式是多样的，有多种微积分课程。第一种称为数学分析，对数学的处理非常严谨，是面向那些基础扎实，非常优秀的大学生。这门课在美国不是很普遍，只有在少数几所著名的大学里可以找到,大概只占1%,但在俄罗斯、欧洲和中国非常普遍。最普遍的一种微积分称为传统微积分。传统微积分包括一定量的理论证明和大量物理学和工程学的应用题。另一种微积分则更侧重于应用，主要面向贸易、经济类以及生物学和医学的学生。这种课比较普遍，对数学处理不是那么严谨，理论和证明部分很少，现实性生活中的应用题比较多，在教学中不断尝试新的技术、新的方法。有的课是按照微积分教学改革的宗旨来设计的，与传统微积分相比,这些课有着不同的教学理念。比如,有人认为学生应该组成学习小组来学习；有人认为应该使用所谓的发现法，如果知识点是学生自己发现的，他们学习起来更有兴趣。

　　科技对微积分教学的影响主要有三个方面。一是对教学方法的影响，比如很多教师将课程相关的内容放在网上，用计算图形软件制作课件，用PoverpoiU制作讲义，围绕Mahemalica设计课程等。二是计算机对教学内容的影响，比如牛顿方法越来越重要,有了像Mahemalica这样强大的计算工具和专门的计算方法，求积分的重要性不如以前了。三是微积分的用途，对那些工作中要用到微积分的人来说，计算机相当重要。

　　在美国规模较大的学校里，微积分课堂人数很多，一般是100至400人，每周都会布置家庭作业，有的甚至是每天。批改作业需要大量的时间，一个做法是聘请研宄生助教来帮助批改;另一个作法是布置作业但不批改，这样学生可能不做;第三个是越来越多被采用的做法,即得用Mymalh]dbWeAssignWAworks等计算机家庭作业软件，学生在网上登录,直接完成作业，教师很快就能得到全班的成绩单。有的学生经常会把习题答案放在网上，使用这些软件可以随机安排题目，让不同的学生得到不同的题目，这样可以避免他们投机取巧，从网上抄袭答案。在网上做作业的另一个益处是学生可以立即得到反馈。当学生遇到困难,传统作法是去找老师、同学或研宄生助教寻求帮助，但这样花费很多的时间。在线家庭作业可以立即给学生反馈，比如举出一些类似的例子，给出相关的参考书等。经试用，效果非常不错。