数列测试题及答案

　　数列测试题及答案：

　　一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

　　1．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a12＋a13＝24，则a7为( )

　　A．6 B．7 C．8 D．9

　　解析：∵a1＋a2＋a12＋a13＝4a7＝24，∴a7＝6.

　　答案：A

　　2．若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S33－S22＝1，则数列{an}的公差是( )

　　A.12 B．1 C．2 D．3

　　解析：由Sn＝na1＋n(n－1)2d，得S3＝3a1＋3d，S2＝2a1＋d，代入S33－S22＝1，得d＝2，故选C.

　　答案：C

　　3．已知数列a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a2 011等于( )

　　A．1 B．－4 C．4 D．5

　　解析：由已知，得a1＝1，a2＝5，a3＝4，a4＝－1，a5＝－5，a6＝－4，a7＝1，a8＝5，…

　　故{an}是以6为周期的数列，

　　∴a2 011＝a6×335＋1＝a1＝1.

　　答案：A

　　4．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是( )

　　A．d＜0 B．a7＝0

　　C．S9＞S5 D．S6与S7均为Sn的最大值

　　解析：∵S5＜S6，∴a6＞0.S6＝S7，∴a7＝0.

　　又S7＞S8，∴a8＜0.

　　假设S9＞S5，则a6＋a7＋a8＋a9＞0，即2(a7＋a8)＞0.

　　∵a7＝0，a8＜0，∴a7＋a8＜0.假设不成立，故S9＜S5.∴C错误.

　　答案：C

　　5．设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，若S3＝3a3，则公比q的值为( )

　　A．－12 B.12

　　C．1或－12 D．－2或12[

　　解析：设首项为a1，公比为q，

　　则当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，适合题意．

　　当q≠1时，a1(1－q3)1－q＝3a1q2，

　　∴1－q3＝3q2－3q3，即1＋q＋q2＝3q2,2q2－q－1＝0，

　　解得q＝1(舍去)，或q＝－12.

　　综上，q＝1，或q＝－12.

　　答案：C

　　6．若数列{an}的通项公式an＝5 252n－2－425n－1，数列{an}的最大项为第x项，最小项为第y项，则x＋y等于( )

　　A．3 B．4 C．5 D．6

　　解析：an＝5252n－2－425n－1＝525n－1－252－45，

　　∴n＝2时，an最小；n＝1时，an最大．

　　此时x＝1，y＝2，∴x＋y＝3.

　　答案：A

　　7．数列{an}中，a1 ＝15,3an＋1＝ 3an－2(n∈N *)，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是( )

　　A．a21a22 B．a22a23 C．a23a24 D．a24a25

　　解析：∵3an＋1＝3an－2，

　　∴an＋1－an＝－23，即公差d＝－23.

　　∴an＝a1＋(n－1)d＝15－23(n－1)．

　　令an＞0，即15－23(n－1)＞0，解得n＜23.5.

　　又n∈N*，∴n≤23，∴a23＞0，而a24＜0，∴a23a24＜0.

　　答案：C

　　8．某工厂去年产值为a，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为( )

　　A．1.14a B．1.15a

　　C．11×(1.15－1)a D．10×(1.16－1)a

　　解析：由已知，得每年产值构成等比数列a1＝a，w

　　an＝a(1＋10%)n－1(1≤n≤6)．

　　∴总产值为S6－a1＝11×(1.15－1)a.

　　答案：C

　　9．已知正数组成的等差数列{an}的前20项的和为100，那么a7a14的最大值为( )

　　A．25 B．50 C．1 00 D．不存在

　　解析：由S20＝100，得a1＋a20＝10. ∴a7＋a14＝10.

　　又a7＞0，a14＞0，∴a7a14≤a7＋a1422＝25.

　　答案：A

　　10．设数列{an}是首项为m，公比为q(q≠0)的等比数列，Sn是它的前n项和，对任意的n∈N*，点an，S2nSn( )

　　A．在直线mx＋qy－q＝0上

　　B．在直线qx－my＋m＝0上

　　C．在直线qx＋my－q＝0上

　　D．不一定在一条直线上

　　解析：an＝mqn－1＝x， ①S2nSn＝m(1－q2n)1－qm(1－qn)1－q＝1＋qn＝y， ②

　　由②得qn＝y－1，代入①得x＝mq(y－1)， 即qx－my＋m＝0.

　　答案：B

　　11．将以2为首项的偶数数列，按下列方法分组：(2)，(4,6)，(8,10,12)，…，第n组有n个数，则第n组的首项为( )

　　A．n2－n B．n2＋n＋2

　　C．n2＋n D．n2－n＋2

　　解析：因为前n－1组占用了数列2,4,6，…的前1＋2＋3＋…＋(n－1)＝(n－1)n2项，所以第n组的首项为数列2,4,6，…的第(n－1)n2＋1项，等于2＋(n－1)n2＋1－12＝n2－n＋2.

　　答案：D

　　12．设m∈N*，log2m的整数部分用F(m)表示，则F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)的值是( )

　　A．8 204 B．8 192

　　C．9 218 D．以上都不对

　　解析：依题意，F(1)＝0，

　　F(2)＝F(3)＝1，有2 个

　　F(4)＝F(5)＝F(6)＝F(7)＝2，有22个．

　　F(8)＝…＝F(15)＝3，有23个．

　　F(16)＝…＝F(31)＝4，有24个．

　　…

　　F(512)＝…＝F(1 023)＝9，有29个．

　　F(1 024)＝10，有1个．

　　故F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29＋10.

　　令T＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29，①

　　则2T＝1×22＋2×23＋…＋8×29＋9×210.②

　　①－②，得－T＝2＋22＋23＋…＋29－9×210 ＝

　　2(1－29)1－2－9×210＝210－2－9×210＝－8×210－2，

　　∴T＝8×210＋2＝8 194， m]

　　∴F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝8 194＋10＝8 204.

　　答案：A

　　第Ⅱ卷 (非选择 共90分)