全国数学联赛模拟题

关于全国数学联赛模拟题

　　全国数学联赛模拟题

　　第一试

　　一、 选择题（每小题6分，共36分）：

　　a2 x2

　　1f x 是奇函数的充要条件是

　　x a a

　　（A）－1≤a＜0或0＜a≤1 （B）a≤－1或a≥1 （C）a＞0 （D）a＜0

　　2 （A）点A在直线l上 （B）点B在直线l上 （C）点C在直线l上 （C）点A、B、C均不在直线l上 3，过顶点A在空间作直线l，使l与直线AC和BC所成的角1

　　都等于60°．这样的直线l可以做

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　　（A）4条 （B）3条 （C）2条 （D）1条

　　100

　　4n C

　　200

　　（A）61 （C）83 （B）67 （D）97

　　5y f x

　　x 大值等于 （A）3 （B）4 （C）7 （D）8

　　6再染2个偶数2、4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16；再染此后最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，第2003个数是 （A）3844 （B）3943 （C）3945 （D）4006

　　二、 填空题（每小题9分，共54分）：

　　＋1)2，A为直角顶点，且|z|＝2．设集合M＝{m|zm∈R，m∈N

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　　2015全国数学联赛模拟题

　　＝

　　1

　　，m∈M}．则集合P所有元素之和等于 m2

　　．

　　4

　　x2 2a2 2x a2 4a 7

　　0 222

　　x a 4a 5x a 4a 7

　　的解集是一些区间的并集，且这些区间的长度的和小于4，则实数a的取值范围是 ．

　　计项目M有可能获得19%到24%的年利润，N有可能获得29%到34%的年利润．年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户．为使银行的年利润不少于给M、N总投资的10%而不大于总投资的15%，则给储户的回扣率的最小值是 ．

　　2＋by2＝1在圆x2＋y2

　　的外部（包括二者相切的'情形）．那么，arcsinb的取值范围

　　是 ．

　　6、同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a，球的半径为R．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为 、 ，则tan( ＋ )的值是 ．

　　三、 （20分）

　　△ABC的三边长a、b、c（a≤b≤c）同时满足下列三个条件 （i）a、b、c均为整数；

　　（ii）a、b、c依次成等比数列； （iii）a与c中至少有一个等于100．

　　求出(a,b,c)的所有可能的解．

　　四、 （20分）

　　在三棱锥D-ABC中，AD＝a，BD＝b，AB＝CD＝c，且∠DAB＋∠BAC＋∠DAC＝180°，∠DBA＋∠ABC＋∠DBC＝180°．求异面直线AD与BC所成的角．

　　五、 （20分）

　　设正系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．证明： （1） max{a,b,c}≥