一、选择题
1．下列函数：①y＝3x2(xN＋)；②y＝5x(xN＋)；③y＝3x＋1(xN＋)；④y＝32x(xN＋)，其中正整数指数函数的个数为()
A．0B．1C．2D．3
【解析】 由正整数指数函数的定义知，只有②中的函数是正整数指数函数．
【答案】 B
2．函数f(x)＝(14)x，xN＋，则f(2)等于()
A．2 B．8
C．16 D.116
【解析】 ∵f(x)＝(14x)xN＋，
f(2)＝(14)2＝116.
【答案】 D
3．(2013阜阳检测)若正整数指数函数过点(2,4)，则它的解析式为()
A．y＝(－2)x B．y＝2x
C．y＝(12)x D．y＝(－12)x
【解析】 设y＝ax(a＞0且a1)，
由4＝a2得a＝2.
【答案】 B
4．正整数指数函数f(x)＝(a＋1)x是N＋上的减函数，则a的取值范围是()
A．a B．－10
C．01 D．a－1
【解析】 ∵函数f(x)＝(a＋1)x是正整数指数函数，且f(x)为减函数，
0a＋11，
－10.
【答案】 B
5．由于生产电脑的成本不断降低，若每年电脑价格降低13，设现在的电脑价格为8 100元，则3年后的价格可降为()
A．2 400元 B．2 700元
C．3 000元 D．3 600元
【解析】 1年后价格为
8 100(1－13)＝8 10023＝5 400(元)，
2年后价格为
5 400(1－13)＝5 40023＝3 600(元)，
3年后价格为
3 600(1－13)＝3 60023＝2 400(元)．
【答案】 A
二、填空题
6．已知正整数指数函数y＝(m2＋m＋1)(15)x(xN＋)，则m＝______.
【解析】 由题意得m2＋m＋1＝1，
解得m＝0或m＝－1，
所以m的值是0或－1.
【答案】 0或－1
7．比较下列数值的大小：
(1)(2)3________(2)5；
(2)(23)2________(23)4.
【解析】 由正整数指数函数的单调性知，
(2)3(2)5，(23)2(23)4.
【答案】 (1) (2)
8．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2012年产生的垃圾量为a吨，由此预测，该区下一年的垃圾量为________吨，2020年的垃圾量为________吨．
【解析】 由题意知，下一年的垃圾量为a(1＋b)，从2012年到2020年共经过了8年，故2020年的垃圾量为a(1＋b)8.
【答案】 a(1＋b) a(1＋b)8
三、解答题
9．已知正整数指数函数f(x)＝(3m2－7m＋3)mx，xN＋是减函数，求实数m的值．
【解】 由题意，得3m2－7m＋3＝1，解得m＝13或m＝2，又f(x)是减函数，则01，所以m＝13.
10．已知正整数指数函数f(x)的图像经过点(3,27)，
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求f(5)；
(3)函数f(x)有最值吗？若有，试求出；若无，说明原因．
【解】 (1)设正整数指数函数为f(x)＝ax(a0，a1，xN＋)，因为函数f(x)的图像经过点(3,27)，所以f(3)＝27，即a3＝27，解得a＝3，所以函数f(x)的`解析式为f(x)＝3x(xN＋)．
(2)f(5)＝35＝243.
(3)∵f(x)的定义域为N＋，且在定义域上单调递增，
f(x)有最小值，最小值是f(1)＝3；f(x)无最大值．
11．某种细菌每隔两小时分裂一次(每一个细菌分裂成两个，分裂所需时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y是研究时间t的函数，记作y＝f(t)．
(1)写出函数y＝f(t)的定义域和值域；
(2)在坐标系中画出y＝f(t)(06)的图像；
(3)写出研究进行到n小时(n0，nZ)时，细菌的总个数(用关于n的式子表示)．
【解】 (1)y＝f(t)的定义域为{t|t0}，值域为{y|y＝2m，mN＋)}；
(2)06时，f(t)为一分段函数，
y＝2，02，4，24，8，46.
图像如图所示．
(3)n为偶数且n0时，y＝2n2＋1；
n为奇数且n0时，y＝2n－12＋1.
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