方程的根与函数的零点教案

方程的根与函数的零点教案

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方程的根与函数的零点教案1

　　教学目标：

　　1、能够结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数。

　　2、理解函数的零点与方程的联系。

　　3、渗透由特殊到一般的认识规律，提升学生的抽象和概括能力。

教学重点、难点：

　　1、重点：理解函数的零点与方程根的联系，使学生遇到一元二次方程根的问题时能顺利联想函数的思想和方法。

　　2、难点：函数零点存在的条件。

教学过程：

　　1、问题引入

　　探究一元二次方程与相应二次函数的关系。

　　出示表格，引导学生填写表格，并分析填出的表格，从二次方程的根和二次函数的图像与x轴的交点的坐标，探究一元二次方程与相应二次函数的关系。

　　一元二次方程

　　方程的根

　　二次函数

　　图像与X轴的交点

　　x2-2x-3=0

　　x1=-1，x2=3

　　y=x2-2x-3

　　（-1，0），（3，0）

　　x2-2x+1=0

　　x1=x2=1

　　y=x2-2x+1

　　（1，0）

　　x2-2x+3=0

　　无实数根

　　y=x2-2x+3

　　无交点

　　（图1-1）函数y=x2-2x-3的图像

　　（图1-2）函数y=x2-2x+1的图像

　　（图1-3）函数y=x2-2x+3的图像

　　归纳：

　　（1）如果一元二次方程没有实数根，相应的二次函数图像与x轴没有交点；

　　（2）如果一元二次方程有实数根，相应的二次函数图像与x轴有交点。

　　反之，二次函数图像与x轴没有交点，相应的一元二次方程没有实数根；

　　二次函数图像与x轴有交点，则交点的横坐标就是相应一元二次方程的实数根。

　　2、函数的零点

　　（1）概念

　　对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点。

　　（2）意义

　　方程f(x)=0有实数根

　　函数y=f(x)的图像与x轴有交点

　　函数y=f(x)有零点

　　（3）求函数的零点

　　①代数法：求方程f(x)=0的实数根

　　②几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。

　　3、函数零点的存在性

　　（1）二次函数的零点

　　△=b2-4ac

　　ax2+bx+c=0的实数根

　　y=ax2+bx+c的零点数

　　△﹥0

　　有两个不等的实数根x1、x2

　　两个零点x1、x2

　　△=0

　　有两个相等的实数根x1=x2

　　一个零点x1（或x2）

　　△﹤0

　　没有实数根

　　没有零点

　　（图2-1）方程ax2+bx+c=0的判别式△﹥0时，函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像

　　（图2-2）方程ax2+bx+c=0的判别式△=0时，函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像

　　（图2-3）方程ax2+bx+c=0的判别式△﹤0时，函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像

　　（2）探究发现

　　问题1：二次函数y=x2-2x-3在区间[-2，1]上有零点。试计算f(-2)与f(1)的乘积有什么特点？

　　解：f(-2)=(-2)2-2*(-2)-3=4+4-3=5

　　f(1)=12-2*1-3=1-2-3=-4

　　f(2)*f(1)=-4*5=-20﹤0

　　问题2：在区间[2,4]呢？

　　解：f(2)=(2)2-2*2-3=-3

　　f(4)=42-2*4-3=5

　　f(4)*f(2)=(-3)*5=-15﹤0

　　归纳：

　　f(2)*f(1)﹤0，函数y=x2-2x-3在[-2，1]内有零点x=-1；f(2)*f(4)﹤0，函数y=x2-2x-3在[2，4]内有零点x=3，它们分别是方程y=x2-2x-3的两个根。

　　结论：

　　如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。

　　①图像在上的图像是连续不断的

　　②

　　③函数在区间内至少有一个零点

　　4、习题演练

　　利用函数图像判断下列二次函数有几个零点

　　①y=－x2＋3x＋5，②y=2x(x－2)+3

　　解：①令f(x)=－x2＋3x＋5,

　　做出函数f(x)的图像，如下

　　（图4-1）

　　它与x轴有两个交点，所以方程－x2＋3x＋5＝0有两个不相等的实数根，则函数y=－x2＋3x＋5有两个零点。

　　②y=2x(x－2)+3可化为

　　做出函数f(x)的图像,如下：

　　（图4-2）

　　它与x轴没有交点，所以方程2x(x－2)＝－3无实数根，则函数y=2x(x－2)+3没有零点。

方程的根与函数的零点教案2

　　一、教学内容解析

　　本节课的主要内容有函数零点的的概念、函数零点存在性判定定理。

　　函数f(x)的零点,是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函数值为0的实数x;从方程的角度看,即为相应方程f(x)=0的实数根，从函数的图形表示看,函数的零点就是函数f(x)与x轴交点的横坐标.函数是中学数学的核心概念，核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机的联系在一起。

　　函数零点的存在性判定定理，其目的就是通过找函数的零点来研究方程的根，进一步突出函数思想的应用，也为二分法求方程的近似解作好知识上和思想上的准备。定理不需证明，关键在于让学生通过感知体验并加以确认，由些需要结合具体的实例，加强对定理进行全面的认识，比如定理应用的局限性，即定理的前提是函数的图象必须是连续的，定理只能判定函数的“变号”零点;定理结论中零点存在但不一定唯一，需要结合函数的图象和性质作进一步的判断。

　　对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则.从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形。

　　函数与方程相比较,一个“动”，一个“静”;一个“整体”，一个“局部”。用函数的.观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础。

　　本节是函数应用的第一课，因此教学时应当站在函数应用的高度，从函数与其他知识的联系的角度来引入较为适宜。

二、教学目标解析

　　1.结合具体的问题，并从特殊推广到一般，使学生领会函数与方程之间的内在联系，从而了解函数的零点与方程根的联系。

　　2.结合函数图象，通过观察分析特殊函数的零点存在的特点，通过问题，理解连续函数在某个区间上存在零点的判定方法，并能由此方法判定函数在某个区间上存在零点。了解定理应用的前提条件，应用的局限性，及定理的准确结论。

　　3.通过具体实例，学生能结合函数的图象和性质进一步判断函数零点的个数。

　　4.在学习过程中，体验函数与方程思想及数形结合思想。

三、教学问题诊断分析

　　1.通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，掌握了函数图象的一般画法，及一定的看图识图能力,这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础。对于函数零点的概念本质的理解，学生缺乏的是函数的观点，或是函数应用的意识，造成对函数与方程之间的联系缺乏了解。由此作为函数应用的第一课时，有必要点明函数的核心地位，即说明函数与其他知识的联系及其在生活中的应用，初步树立起函数应用的意识。并从此出发，通过问题的设置，引导学生思考，再通过实例的确认与体验，从直观到抽象，从特殊到一般的学习方式，捅破学生认识上的这层“窗户纸”。

　　2.对于零点存在的判定定理，教材不要求给予其证明，这需要教师提供一定量的具体案例让学生操作感知，同时鼓励学生举例来验证，最终能自主地获得并确认该定理的结论。对于定理的条件和结论，学生往往考虑不够深入，需要教师通过具体的问题，引导学生从正面、反面、侧面等不同的角度重新进行审视。

　　3.函数的零点，体现了函数与方程之间的密切联系，教学中应遵循高中数学以函数为主线的这一原则进行联结，侧重在从函数的角度看方程，同时为二分法求方程的近似解作知识和思想上的准备。

四、教学过程设计

　　(一)创设情景，揭示课题

　　函数是中学数学的核心内容，它不仅在生活中有着大量的应用，与其他数学知识有着千丝万缕的联系，若能抓住这一联系，你就拥有了一把解决问题的金钥匙。

　　案例1：周长为定值的矩形

　　不妨取l=12

　　问题1：求其面积的值：

　　显然面积是一个关于x的一个二次多项式

　　，用几何画板演示矩形的变化：

　　问题2：求矩形面积的最大值?

　　当x取不同值时，代数式的值也相应随之变化，你能从函数的角度审视其中的关系吗?

　　问题3：能否使得矩形的面积为8?你是如何分析的?

　　(1)实验演示的角度进行估计，拖动时难以恰好出现面积为8的情况;

　　(2)解方程：x(6-x)=8

　　(3)方程x(6-x)=8能否从函数的角度来进行描述?

　　问题4：

　　一般地，对于一般的二次三项式，二次方程与二次函数，它们之间有何联系?

　　结论：

　　代数式的值就是相应的函数值;

　　方程的根就是使相应函数值为0的x的值。

　　更一般地

　　方程f(x)=0的根，就是使函数值y=f(x)的函数值为0的x值，从函数的角度我们称之为零点。

　　设计意图:本节课是函数应用的第一课，有必要让学生对函数的应用有所了解。从具体的问题出发,揭示函数与代数式、方程之间的内在联系，并从学生所熟悉的具体的二次函数，推广到一般的二次函数，再进一步推广到一般的函数。

　　(二) 互动交流 研讨新知

　　1.函数零点的概念：

　　对于函数

　　，把使

　　成立的实数

　　叫做函数

　　的零点.

　　2.对零点概念的理解

　　案例2：观察图象

　　问题1：此图象是否能表示函数?

　　问题2：你能从中分析函数有哪些零点吗?

　　问题3：从函数图象的角度，你能对函数的零点换一种说法吗?

　　结论：函数

　　的零点就是方程

　　实数根，亦即函数

　　的图象与

　　轴交点的横坐标.即：

　　方程

　　有实数根

　　函数

　　的图象与

　　轴有交点

　　函数

　　有零点.

　　设计意图：进一步掌握函数的核心概念，同时通过图象进行一步完善对函数零点的全面理解，为下面借助图象探究零点存在性定理作好一定的铺垫。

　　2.零点存在定理的探究

　　案例3：下表是三次函数

　　的部分对应值表：

　　问题1：你能从表中找出函数的零点吗?

　　问题2：结合图象与表格，你能发现此函数零点的附近函数值有何特点?

　　生：两边的函数值异号!

　　问题3：如果一个函数f(x)满足f(a)f(b)<0,在区间(a,b)上是否一定存在着函数的零点?

　　注意:函数在区间上必须是连续的(图象能一笔画),从而引出零点存在性定理.

　　问题4: 有位同学画了一个图,认为定理不一定成立,你的看法呢?

　　问题5:你能改变定理的条件或结论,得到一些新的命题吗?

　　如1:加强定理的结论:若在区间[a，b]上连续函数f(x)满足f(a)f(b)<0,是否意味着函数f(x)在[a,b]上恰有一个零点?

　　如2.将定理反过来:若连续函数f(x)在[a,b]上有一个零点,是否一定有f(a)f(b)<0?

　　如3:一般化:一个函数的零点是否都可由上述的定理进行判断?(反例:同号零点,如案例2中的零点-2)

　　设计意图：通过表格，是为了进一步巩固对函数这一概念的全面认识，并为观察零点存在性定理中函数值的异号埋下伏笔。通过教师的设问让学生进一步全面深入地领悟定理的内容，而鼓励学生提问，是培养学生学习主动性和创造能力必要的过程。

　　(三)巩固深化，发展思维

　　例1、求函数f(x)=㏑x+2x -6的零点个数。

　　设计问题：

　　(1)你可以想到什么方法来判断函数零点?

　　(2)你是如何来确定零点所在的区间的?请各自选择。

　　(3)零点是唯一的吗?为什么?

　　设计意图：对所学内容巩固，可以借助<几何画板>画出函数f(x)的图象观察,也可借助列出函数值表观察。

　　本题可以使学生意识对零点的区间是不唯一的，为下一节二分法求方程的近似解奠定基础。

　　让学生进一步领悟，零点的唯一性需要借助函数的单调性。

　　(四)归纳整理，整体认识

　　请回顾本节课所学知识内容有哪些?

　　所涉及到的主要数学思想又有哪些?

　　你还获得了什么?

　　(五)作业(略)