圆的方程的教案

　　㈠课时目标

　　1．掌握圆的一般式方程及其各系数的几何特征。

　　2．待定系数法之应用。

　　㈡问题导学

　　问题1：写出圆心为（a，b），半径为r的圆的方程，并把圆方程改写成二元二次方程的形式。 —2ax—2by+ =0

　　问题2：下列方程是否表示圆的方程，判断一个方程是否为圆的方程的标准是什么？

　　① ； ② 1

　　③ 0； ④ —2x+4y+4=0

　　⑤ —2x+4y+5=0； ⑥ —2x+4y+6=0

　　㈢教学过程

　　[情景设置]

　　把圆的标准方程 展开得 —2ax—2by+ =0

　　可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：

　　+Dx+Ey+F=0 ①

　　提问：方程表示的曲线是不是圆？一个方程表示的曲线是否为圆有标准吗？

　　[探索研究]

　　将①配方得 ： （ ） ②

　　将方程 ②与圆的标准方程对照。

　　⑴当 ＞0时， 方程 ②表示圆心在 （— ），半径为 的圆。

　　⑵当 =0时，方程①只表示一个点（— ）。

　　⑶当 ＜0时， 方程①无实数解，因此它不表示任何图形。

　　结论： 当 ＞0时， 方程 ①表示一个圆， 方程 ①叫做圆的一般方程。

　　圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了形式上的特点：

　　⑴ 和 的系数相同，不等于0；

　　⑵没有xy这样的二次项。

　　以上两点是二元二次方程A +Bxy+C +Dx+Ey+F=0表示圆的必要条件，但不是充分条件

　　[知识应用与解题研究]

　　[例1] 求下列各圆的半径和圆心坐标。

　　⑴ —6x=0； ⑵ +2by=0（b≠0）

　　[例2]求经过O（0，0），A（1，1），B（2，4）三点的圆的方程，并指出圆心和半径。

　　分析：用待定系数法设方程为 +Dx+Ey+F=0 ，求出D，E，F即可。

　　[例3]已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为 的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线。

　　分析：本题直接给出点，满足条件，可直接用坐标表示动点满足的条件得出方程。

　　反思研究：到O（0，0），A（1，1）的距离之比为定植k（k>0）的点的轨迹又如何？当k=1时为直线，k>0时且k≠1时为圆。

　　㈣提炼总结

　　1．圆的一般方程： +Dx+Ey+F=0 （ ＞0）。

　　2．二元二次方程A +Bxy+C +Dx+Ey+F=0表示圆的必要条件是：A=C≠0且B=0。

　　3．圆的方程两种形式的选择：与圆心半径有直接关系时用标准式，无直接关系选一般式。

　　4．两圆的位置关系（相交、相离、相切、内含）。

　　㈤布置作业

　　1．直线l过点P（3，0）且与圆 —8x—2y+12=0截得的弦最短，则直线l的方程为：

　　2．求下列各圆的圆心、半径并画出它们的图形。

　　⑴ —2x—5=0； ⑵ +2x—4y—4=0

　　3．经过两圆 +6x—4=0和 +6y—28=0的交点，并且圆心在直线x—y—4=0上的圆的方程。