对数函数性质测试题

　　1．(2010年高考天津卷)设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则()

　　A．a＜c＜bB．b＜c＜a

　　C．a＜b＜cD．b＜a＜c

　　解析：选D.a＝log54＜1，log53＜log54＜1，b＝(log53)2＜log53，c＝log45＞1，故b＜a＜c.

　　2．已知f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上递减，那么f(x)在(1，＋∞)上()

　　A．递增无最大值B．递减无最小值

　　C．递增有最大值D．递减有最小值

　　解析：选A.设y＝logau，u＝|x－1|.

　　x∈(0,1)时，u＝|x－1|为减函数，∴a>1.

　　∴x∈(1，＋∞)时，u＝x－1为增函数，无最大值．

　　∴f(x)＝loga(x－1)为增函数，无最大值．

　　3．已知函数f(x)＝ax＋logax(a＞0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为()

　　A.12B.14

　　C．2D．4

　　解析：选C.由题可知函数f(x)＝ax＋logax在[1,2]上是单调函数，所以其最大值与最小值之和为f(1)＋f(2)＝a＋loga1＋a2＋loga2＝loga2＋6，整理可得a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(舍去)，故a＝2.

　　4．函数y＝log13(－x2＋4x＋12)的单调递减区间是________．

　　解析：y＝log13u，u＝－x2＋4x＋12.

　　令u＝－x2＋4x＋12>0，得－2<x<6.

　　∴x∈(－2,2]时，u＝－x2＋4x＋12为增函数，

　　∴y＝log13(－x2＋4x＋12)为减函数．

　　答案：(－2,2]

　　1．若loga2＜1，则实数a的取值范围是()

　　A．(1,2)B．(0,1)∪(2，＋∞)

　　C．(0,1)∪(1,2)D．(0，12)

　　解析：选B.当a＞1时，loga2＜logaa，∴a＞2；当0＜a＜1时，loga2＜0成立，故选B.

　　2．若loga2<logb2<0，则下列结论正确的是()

　　A．0<a<b<1B．0<b<a<1

　　C．a>b>1D．b>a>1

　　解析：选B.∵loga2<logb2<0，如图所示，

　　∴0<b<a<1.

　　3．已知函数f(x)＝2log12x的值域为[－1,1]，则函数f(x)的定义域是()

　　A．[22，2]B．[－1,1]

　　C．[12，2]D．(－∞，22]∪[2，＋∞)

　　解析：选A.函数f(x)＝2log12x在(0，＋∞)上为减函数，则－1≤2log12x≤1，可得－12≤log12x≤12，

　　解得22≤x≤2.

　　4．若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为()

　　A.14B.12

　　C．2D．4

　　解析：选B.当a＞1时，a＋loga2＋1＝a，loga2＝－1，a＝12，与a＞1矛盾；

　　当0＜a＜1时，1＋a＋loga2＝a，

　　loga2＝－1，a＝12.

　　5．函数f(x)＝loga[(a－1)x＋1]在定义域上()

　　A．是增函数B．是减函数

　　C．先增后减D．先减后增

　　解析：选A.当a＞1时，y＝logat为增函数，t＝(a－1)x＋1为增函数，∴f(x)＝loga[(a－1)x＋1]为增函数；当0＜a＜1时，y＝logat为减函数，t＝(a－1)x＋1为减函数，

　　∴f(x)＝loga[(a－1)x＋1]为增函数．

　　6．(2009年高考全国卷Ⅱ)设a＝lge，b＝(lge)2，c＝lge，则()

　　A．a>b>cB．a>c>b

　　C．c>a>bD．c>b>a

　　解析：选B.∵1<e<3，则1<e<e<e2<10，

　　∴0<lge<1.则lge＝12lge<lge，即c<a.

　　∵0<lge<1，∴(lge)2<lge，即b<a.

　　又c－b＝12lge－(lge)2＝12lge(1－2lge)

　　＝12lgelg10e2>0，∴c>b，故选B.

　　7．已知0＜a＜1,0＜b＜1，如果alogb(x－3)＜1，则x的取值范围是________．

　　解析：∵0＜a＜1，alogb(x－3)＜1，∴logb(x－3)＞0.

　　又∵0＜b＜1，∴0＜x－3＜1，即3＜x＜4.

　　答案：3＜x＜4

　　8．f(x)＝log21＋xa－x的图象关于原点对称，则实数a的值为________．

　　解析：由图象关于原点对称可知函数为奇函数，

　　所以f(－x)＋f(x)＝0，即

　　log21－xa＋x＋log21＋xa－x＝0log21－x2a2－x2＝0＝log21，

　　所以1－x2a2－x2＝1a＝1(负根舍去)．

　　答案：1

　　9．函数y＝logax在[2，＋∞)上恒有|y|＞1，则a取值范围是________．

　　解析：若a＞1，x∈[2，＋∞)，|y|＝logax≥loga2，即loga2＞1，∴1＜a＜2；若0＜a＜1，x∈[2，＋∞)，|y|＝－logax≥－loga2，即－loga2＞1，∴a＞12，∴12＜a＜1.

　　答案：12＜a＜1或1＜a＜2

　　10．已知f(x)＝6－ax－4ax<1logaxx≥1是R上的增函数，求a的取值范围．

　　解：f(x)是R上的增函数，

　　则当x≥1时，y＝logax是增函数，

　　∴a>1.

　　又当x<1时，函数y＝(6－a)x－4a是增函数．

　　∴6－a>0，∴a<6.

　　又(6－a)×1－4a≤loga1，得a≥65.

　　∴65≤a<6.

　　综上所述，65≤a＜6.

　　11．解下列不等式．

　　(1)log2(2x＋3)＞log2(5x－6)；

　　(2)logx12＞1.

　　解：(1)原不等式等价于2x＋3＞05x－6＞02x＋3＞5x－6，

　　解得65＜x＜3，

　　所以原不等式的解集为(65，3)．

　　(2)∵logx12＞1log212log2x＞11＋1log2x＜0

　　log2x＋1log2x＜0－1＜log2x＜0

　　2－1＜x＜20x＞012＜x＜1.

　　∴原不等式的解集为(12，1)．

　　12．函数f(x)＝log12(3x2－ax＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围．

　　解：令t＝3x2－ax＋5，则y＝log12t在[－1，＋∞)上单调递减，故t＝3x2－ax＋5在[－1，＋∞)单调递增，且t＞0(即当x＝－1时t＞0)．

　　因为t＝3x2－ax＋5的对称轴为x＝a6，所以a6≤－18＋a＞0a≤－6a＞－8－8＜a≤－6.