三、本大题共4小题,每题6分,共24分
15、(201X肇庆)如图5,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC 与BD 交于O,AC=BD.
求证:(1)BC=AD;
(2)△OAB是等腰三角形.
【答案】证明:(1)∵AC⊥BC,BD⊥AD
∴ ∠D =∠C=90 (1分)
在Rt△ACB和 Rt△BDA 中,AB= BA ,AC=BD,
∴ △ACB≌ △BDA(HL) (3分)
∴BC=AD (4分)
(2)由△ACB≌ △BDA得 ∠C AB =∠D BA (5分)
∴△OAB是等腰三角形. (6分)
16、(201X广东)如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=72°.
(1)用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D(保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)在(1)中作出∠ABC的平分线BD后,求∠BDC的度数.
解:
(1)①一点B为圆心,以任意长长为半径画弧,分别交AB、BC于点E、F;
②分别以点E、F为圆心,以大于EF为半径画圆,两圆相较于点G,连接BG角AAC于点D即可.。。2分
(2)∵在△ABC中,AB=AC,∠ABC=72°,
∴∠A=180°﹣2∠ABC=180°﹣144°=36°,。。。。3分
∵AD是∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠ABC=×72°=36°,。。。。。。4分
∵∠BDC是△ABD的外角,
∴∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°。6分.
17、(201X广东株洲)△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AC的垂直平分线交AB于E,D为垂足,连结EC.
(1)求∠ECD的度数;
(2)若CE=5,求BC长.
(1)解法一:∵DE垂直平分AC,∴CE=AE,∠ECD=∠A=36°.
解法二:∵DE垂直平分AC,∴AD=CD,∠ADE=∠CDE=90°,
又∵DE =DE,∴△ADE≌△CDE,∠ECD=∠A=36°.
(2)解法一:∵AB=AC,∠A=36°,∴∠B=∠ACB=72°,
∵∠ECD=36°,
∴∠BCE=∠ACB-∠ECD=36°,
∠BEC=72°=∠B,
∴ BC=EC=5.
解法二:∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠B=∠ACB=72°,
∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°,
∴∠BEC=∠B,
∴BC=EC=5.
18、阅读下题及其证明
过程:已知:如图,D是△ABC中BC边上一点,EB=EC,∠ABE=∠ACE,求证:∠BAE=∠CAE.
证明:在△AEB和△AEC中,
∴△AEB≌△AEC(第一步)
∴∠BAE=∠CAE(第二步)
问:上面证明过程是否正确?若正确,请写出每一步推理根据;
若不正确,请指出错在哪一步?并写出你认为正确的推理过程。
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